"Le savant n'est pas l'homme qui fournit de vraies réponses ; c'est celui qui pose les vraies questions."
1. Définition
Un entier naturel est un nombre positif. Il ne comporte ni signe ni virgule.
Exemples :
1 est un nombre entier naturel.
7 est un nombre entier naturel.
109 est un nombre entier naturel.
12,6 n’est pas un nombre entier naturel
L’ensemble des entiers naturels est noté N. En mathématique on écrit :
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5…}
2. Notion d’éléments d’un ensemble
Que constitue un ensemble ?
Un ensemble est constitué de ses éléments.
Et que constitue l’ensemble N ?
L’ensemble N est constitué de nombres entiers naturels.
Alors puisqu’on sait que l’ensemble N est constitué de nombres entiers naturels, on dit que les entiers naturels sont les éléments de l’ensemble N.
Exemples :
1, 2, 6, 7, 123 et 456 sont des éléments de N.
13,2 n’est pas un élément de N.
3. Notion d’appartenance
13 est un élément de N. On dit que 13 appartient à N. En mathématique, on écrit :
13∈N (ça se lit 13 appartient à N).
14,3 n’appartient pas à N. En mathématique, on écrit :
14,3∉N.
4. Notion d’inclusion et de sous-ensemble
Soit A, B, C et D quatre ensembles.
A= {4, 5, 6, 3}
B = {12, 7, 14, 3}
C= {3, 4, 5, 6, 7, 9, 13}
D= {3, 7, 12, 14}
Que constatez-vous ?
On constate que tous les éléments de l’ensemble A sont aussi des éléments de l’ensemble C.
On constate aussi que B et D ont les mêmes éléments.
Dans ce cas on dit que A est inclus dans C. On écrit A⊂C (A est inclus dans C) ou C⊃A (C contient A).
Puisque B et D ont les mêmes éléments, on dit que l’ensemble B est égal à l’ensemble D. En mathématique, on écrit B=D.
D n’est pas inclus dans C, on écrit D⊄C.
Puis que A ⊂ C, alors A est un sous-ensemble de C.
Retenons :
Soit A et B deux ensembles.
5. Notion d’union
Soit A et B deux ensembles.
A = {1, 3, 7, 8, 12, 9, 4, 5}
B= {12, 8, 14, 2, 6, 13}
Pour former A union B, on regroupe dans un ensemble les éléments de A et les éléments de B. Attention, aucun élément ne doit pas être écrit plusieurs fois dans l’ensemble.
A union B est noté A U B.
Ainsi A U B = {1, 3, 7, 12, 9, 4, 5, 8, 14, 2, 6, 13}
6. Notion d’intersection
Soit A et B deux ensembles.
A = {1, 3, 7, 8, 12, 9, 4, 5}
B= {12, 8, 14, 2, 6, 13, 9}
Pour former A inter B, on regroupe dans un ensemble les éléments qui sont à la fois dans l’ensemble A et dans l’ensemble B. Attention, aucun élément ne doit pas être écrit plusieurs fois dans l’ensemble.
A inter B est noté A∩B.
On voit très bien les éléments 8 et 9 sont à la fois dans les deux ensembles.
Alors A∩B = {8, 9}
7. L’ensemble vide
Un ensemble vide est un ensemble qui n’a aucun élément.
Soit A un ensemble vide. Il y deux façons d’écrire mathématiquement A :
A = {} ou A = ∅.
8. L’ensemble singleton
L’ensemble singleton est un ensemble qui a un seul élément.
9. L’ensemble des sous-ensembles d’un ensemble
L’ensemble des sous-ensembles d’un ensemble A est noté ℘ (A). C’est l’ensemble des parties de A.
Exemple :
Soit A= {a, b, c}
Alors ℘ (A) = { ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b},{ a, c}, {b, c}, A}
