Les triangles

1.  Définition

Un triangle est une figure géométrique qui a trois côtés, trois sommets et trois angles.
La somme des angles d’un triangle est égale à 180o.     




   triangle                             

Ici on a le triangle ABC.  A, B et C sont les sommets. [AB], [BC] et [CA] sont les côtes. Â, et sont les angles.

2.  Différents triangles  

2.1.  Un triangle en aiguille

Un triangle en aiguille (appelé aussi triangle dégénéré) est un triangle qui a au moins deux sommets confondus.
Un triangle en aiguille est un cas particulier dans la mesure où la somme de ses angles est nulle.
Exemple 1 :
Un point (.) est un triangle en aiguille dont tous ses trois sommets sont confondus. Ses angles sont nuls, ses côtés sont presque nuls.

Exemple 2 :
triangle en aiguille

Ici le triangle ABC est un triangle en aiguille car les sommets B et C sont confondus. Les côtés [AB] et [AC] sont égaux. Le côté [BC] est presque nul. Tous ses angles sont nuls.

2.2. Un triangle plat

Un triangle est dit plat si tous ses sommets sont alignés. Il a donc deux angles nuls et un angle plat.

triangle plat

 =  = 0.

 = 180o.

2.3. Un triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.  Le côté le plus long d’un triangle rectangle est appelé hypoténuse.

triangle rectangle

Le triangle ABC est un triangle rectangle en B.

AC est appelé hypoténuse.
Selon la loi de Pythagore : AC2 = AB2 + BC2

2.4.  Triangle des arpenteurs

Le triangle des arpenteurs est un triangle rectangle qui a 5 comme hypoténuse. Les deux autres côtés mesurent respectivement 3 et 4.

2.5. Le triangle de l’écolier

Le triangle de l’écolier est un triangle rectangle dont les angles non droits mesurent 30o et 60o.  

2.6. Le triangle de Kepler

Le triangle de Kepler est un triangle rectangle qui a un côté adjacent de longueur 1, l’hypoténuse et l’autre côté mesurent respectivement d2 et d.

2.7. Triangle isocèle

Un triangle est dit isocèle s’il a deux côtés égaux.
triangle isocele  

Le triangle ABC est un triangle isocèle car AB = BC.

2.8. Triangle iso-rectangle

Le demi-carré ou triangle iso-rectangle est un triangle qui est à la fois isocèle et rectangle.
triangle-isorectangle.png

ABC est un triangle iso-rectangle car AB = BC et  = 90o.  
 = = 45o.

2.9. Triangle iso-plat

Un triangle est dit iso-plat s’il est à la fois plat et isocèle.
Le côté le plus long est égal à la somme de deux autres côtés. Puisque les deux autres côtés sont égaux, alors le côté le plus long est égal à 2 fois l’un des autres côtés.
triangle soplat

AB = BC.
AC= 2AB = 2BC.
 =  = 0.
 = 180o.
 

2.10.  Triangle équilatéral.

Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés égaux. Ses trois angles sont forcement égaux, alors chaque angle équivaut à 60o.

triangle equilatera

ABC est un triangle équilatéral car AB =BC = CA. 
 =  =  = 60o.

2.11.  Triangle scalène

Un triangle est dit scalène s’il n’est pas plat et si ses trois côtés ont des longueurs différentes.

2.12.  Triangle ambligone

Un triangle ambligone appelé aussi triangle obtusangle est un triangle qui a un angle obtus.

2.13.  Triangle oxygone

Un triangle oxygone appelé aussi triangle actuangle est un triangle qui possède trois angles aigu.

2.14.  Triangle d’or

Le triangle d’or est un triangle qui a deux angles de 72o et un angle de 36o.

3.  Médianes, Médiatrices, bissectrices et hauteurs d’un triangle

3.1.  Médianes

On appelle médiane d’un triangle (non plat), le segment qui a comme extrémités un sommet et le centre du côté opposé. 
Les trois médianes d’un triangle se coupent en un point appelé  centre de gravité.  Ils divisent le triangle en six petits triangles de surface égale.

triangle medianes

Ici on a le triangle ABC.
D, E et F sont respectivement les milieux de [CA], [AB], et [BC].
Alors BD, CE, et AF sont les médianes du triangle ABC.
G est le centre de gravité du triangle ABC.
Les petits triangles AEG, ADG, CDG, CFG, BEG et BFG ont la même surface.

3.2. Médiatrices d’un triangle

On appelle médiatrice d’un côté, une droite passant au milieu de ce côté et perpendiculaire à ce côté.
Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un point qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

mediatrices-trianges.PNG

 

d’, d’’ et d’’’ sont les médiatrices du triangle ABC. O, le point d’intersection des médiatrices est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

3.3.  Bissectrices

On appelle bissectrice d’un angle, la demi droite qui a pour origine le sommet de l’angle et qui partage l’angle en deux angles égaux.
Les trois bissectrices d’un triangle se coupent en un point qui est le centre du cercle inscrit au triangle.

bissectrices triangle

Les demi-droites jaunes sont les bissectrices du triangle ABC. Le cercle jaune est le cercle inscrit au triangle ABC. Le point O est à la fois le point d’intersection des bissectrices et le centre du cercle jaune.

3.4. Les hauteurs d’un triangle

On appelle hauteur d’un triangle le segment qui part du sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Le côté opposé est appelé base.
Les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un point appelé orthocentre.

hauteur triangle

Les segments rouges sont les hauteurs du triangle ABC.
H est l’orthocentre.

4.  Calcul du périmètre d’un triangle

Le périmètre d’un triangle est la somme des cotés qui forment le triangle.
Soit le triangle ABC suivant 
triangle

P = AB + BC + CA.
P est le périmètre du triangle ABC.

5.  Calcul de l’aire d’un triangle

Pour calculer la surface (aire) d’un triangle, on multiplie la hauteur par la base et on divise le produit par 2.
A = h x B /2

A : l’aire ou surface.
h : la hauteur.
B : la base.